Day 1 - Takens Theorem

# Day 1 - Takens Theorem
## and its Consequences
### Rafael Lopes
### IFT, Unesp
### 2020-10-27

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## Motivação

Como determinar se duas séries temporais se relacionam?
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<img src="img/Rplotcausas.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />

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## Sistemas Dinâmicos

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Podemos sempre pensar qualquer série temporal como resultado de um regra do tipo:
`$$X_1 = F(X_0)$$`
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Onde `$X_1$` é uma função de seu passo anterior
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## Sistemas Dinâmicos

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Se continuamos com essa regra temos `$$X_2=F(X_1)=F(F(X_0))=F^2(X_0)$$` e assim por diante, de forma geral:
`$$X_n=F^n(X_0)$$`
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## Dinâmica de Populações

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Um primeiro modelo matemático que incorpora essa ideia é o modelo de *Lotka-Volterra*:

$$
`\begin{equation}
\dot{x} = (b-py)x \\
\dot{y} = (rx-d)y \label{lotka-volterra}
\end{equation}`
$$
Primeiro modelo a descrever o ciclo de presas e predadores
Sabemos que aqui a causa é clara, `$x$` é predado por `$y$`
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## Dinâmica de Populações

Quando integramos essas equações encontremos o seguinte:
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<img src="img/Rplot03.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />
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## Dinâmica de Populações

Uma outra forma de olhar essa dinâmica é através de um espaço-de-fase:
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<img src="img/Rplot05.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />
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## Dinâmica de Populações

Conforme alteramos os parâmetros e as condições iniciais de podemos encontrar diferentes **trajetórias**
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<img src="img/Rplot08.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />
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## Atratores

Qualquer conjunto **trajetórias** no espaço-de-fase para um longo período de tempo, chamaremos de **atratores**
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<img src="img/Rplot10.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />
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## Recapitulando

* Qualquer série temporal pode ser entendida como uma regra de sucessão do tipo `$X_n = F^n(X_0)$`

* para um sistema *n*-dimensional podemos visualizar sua dinâmica num **espaço-de-fase**, em que as variáveis desse sistema são plotadas uma em função da outra

* Sistemas dinâmicos podem apresentar **atratores**, conjuntos de **trajetórias** para longos períodos de tempo

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## Reconstrução de Atratores

O sistema de *Lorentz* é um sistema que apresenta um atrator, ele é resultado da resolução das equações:
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$$
`\begin{equation*}
  \dot{X} = \sigma(Y-X)\\
  \dot{Y} = rX-Y-XZ \\
  \dot{Z} = XY-bZ
  \label{eq:Lorenz}
\end{equation*}`
$$
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## Reconstrução de Atratores

Cada equação expressa uma série temporal para o sistema, então temos:
--

<img src="img/lorentzts.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />
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## Reconstrução de Atratores

* Porém nem sempre conhecemos todas as **variáveis** de um sistema completamente

* A questão que fica é mas e quando não temos todas as variáveis ou **séries temporais** que compõe o sistema, como podemos entender a **dinâmica**?

* A resposta é sim, através do **teorema de Takens** 
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## Teorema de Takens

Considere uma variedade `$M$` de dimensão `$m$` e `$2m+1$` funções observação do tipo, `$x_k:M\rightarrow\mathbb{R}$`, sendo elas, uma série temporal do sistema e as outras seus 2m atrasos, então:

`$$\Phi = (x(t), x(t-\tau), ..., x(t-2m\tau))$$`
é uma **embedding**.

Ou seja, `$\Phi$` é uma representação válida de `$M$` num espaço euclidiano de `$E=2m+1$` dimensões, e que conserva todas suas características topológicas bem como a sua **dinâmica**. `$E$` é a dimensão de **embedding**.
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## Teorema de Takens

* De forma simples, qualquer sistema dinâmico pode ser reconstruído, basta que se tenha uma **série temporal** desse sistema e faça-se tantos atrasos quanto sejam necessários.

* Para **mergulhar** essa dinâmica num espaço euclidiano, que de deve ter `$2m+1$` dimensões, onde `$m$` é a dimensão original do espaço que será reconstruindo.

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## Reconstrução na prática

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Se só tivermos a série do `$X$` no sistema de *Lorentz*, com o **teorema de Takens** podemos reconstruir o sistema todo, e sua **dinâmica**
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<img src="Day1_Takens_Theorem_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="600" height="400" style="display: block; margin: auto;" />
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## Reconstrução na prática

--
Data frame de duas colunas:

```r
knitr::kable(
* head(lorentz_X),
  format = 'html')
```

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> time </th>
   <th style="text-align:right;"> X </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0000000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0951063 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1826561 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.2656028 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.3464812 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.05 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.4275155 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
---
## Reconstrução na prática

--
Código para fazer atrasos:

```r
*source("https://raw.githubusercontent.com/mathbio/edmTutorials/master/utilities/make_block.R")
*X_lag<-make_block(block = data.frame(lorentz_X$X), max_lag = 3)
knitr::kable(
* head(X_lag, 5),
  format = 'html')
```

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> time </th>
   <th style="text-align:right;"> lorentz_X.X </th>
   <th style="text-align:right;"> lorentz_X.X_1 </th>
   <th style="text-align:right;"> lorentz_X.X_2 </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 1 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0000000 </td>
   <td style="text-align:right;"> NA </td>
   <td style="text-align:right;"> NA </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0951063 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0000000 </td>
   <td style="text-align:right;"> NA </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 3 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1826561 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0951063 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0000000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.2656028 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1826561 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0951063 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 5 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.3464812 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.2656028 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1826561 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
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## Reconstrução na prática
Reconstrução do **atrator** de *Lorentz*, ou **variedade-sombra**:
--
<img src="Day1_Takens_Theorem_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png" width="600" height="475" style="display: block; margin: auto;" />
---
## Consequências do Teorema

* A variedade reconstruída reproduz a dinâmica da variedade orignal, mapeia 1:1
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* Se duas **variedades-sombra** mapeiam-se mutuamente elas pertencem ao mesmo sistema dinâmico
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## Consequências do Teorema

Questões:
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* Como determinar o tanto de **atrasos** necessários a reconstrução? (Day 2)

* Como determinar se duas variedades se **mapeiam**? (Day 3)
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# Obrigado!

## Referências:

* Materiais e slides: [rafalopespx.github.io/WorkshopEDM/](http://rafalopespx.github.io/WorkshopEDM/)

* Vídeos do [YouTube](http://www.youtube.com/watch?v=fevurdpiRYg&list=PL-SSmlAMhY3bnogGTe2tf7hpWpl508pZZ) sobre o Teorema de Takens.

* Canal do [Slack](https://app.slack.com/client/T01BJETR8S3/C01CXH8H9KM) para discussão, dúvidas, etc.

* Tutorial Hands-on Takens Theorem [Extra](https://rafalopespx.github.io/WorkshopEDM/Hands-on_Takens.html)